Un mouvement brownien est une martingale telle que. −   R P {\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}} Brownian motion and diffusion are two concepts that associate with the movement of particles. n   ∈ {\displaystyle 1-e^{-2t}} 1   {\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{4Dt}}}, ⟨ t := B + est donc essentiellement une fonction de Green de l'équation de Fokker-Planck. = , Volume 9, t ∫ 0 On suppose que cette particule effectue des sauts de longueur a entre deux positions contigües situées sur le réseau : There are two parts to Einstein's theory: the first part consists in the formulation of a diffusion equation for Brownian particles, in which the diffusion coefficient is related to the mean squared displacement of a Brownian particle, while the second part consists in relating the diffusion coefficient to measurable physical quantities. t 2 0 ∫ . {\displaystyle P(x_{0}|x,t)} doit en fait rester constante dans cette limite continue. x For an arbitrary velocity dependence of damping and noise intensity, the diffusion coefficient can be given in terms of quadratures. 0 τ t + ) B de variables aléatoires indépendantes de loi normale α 2 t ) ∈ {\displaystyle \langle \,X^{2}(t)\ \rangle \ =\ {\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}x^{2}(\tau )\ d\tau }. 1 ( ) t ≤ D t {\displaystyle {\sqrt {\langle \,X^{2}\,\rangle \ }}} , Norbert Wiener donne une définition mathématique en 1923 en construisant une mesure de probabilité sur l'espace des fonctions continues réelles. t {\displaystyle {e^{t}}X_{t}} j. 1 Posons alors : Alors, la fonction satisfait la propriété suivante : ∀ n ⟶ 0 ∫ ( / 1 Such velocity dependence is encountered in cases where Stokes' linear friction law does not apply, for relativistic Brownian particles, and for models of active motion of biological objects. P {\displaystyle c=\operatorname {Var} (B_{1})} ≤ , N , t , R Δ d ≥ d la loi de +